Ligne de fuite

Le paradoxe d’Achille et de la tortue, formulé par Zénon d’Élée, dit qu’un jour, le héros grec Achille a disputé une course à pied avec une tortue. Comme Achille était réputé être un coureur très rapide, il avait accordé gracieusement au lent reptile une avance de cent mètres.

L’argument exposé par Zénon est qu’Achille ne peut rattraper la tortue car si la tortue a de l’avance sur Achille, celui-ci ne peut jamais la rattraper, quelle que soit sa vitesse ; car pendant qu’Achille court jusqu’au point d’où a démarré la tortue, cette dernière avance, de telle sorte qu’Achille ne pourra jamais annuler l’avance de l’animal.

Cet argument fautif, sans doute possiblement déjà considéré comme tel par Zénon, ou pseudo-Zénon, car exposé comme un paradoxe, est totalement résolu par les mathématiques contemporaines : Achille dépasse bien la tortue, et même, il existe un instant auquel ils sont exactement à la même position.

L’erreur mathématique était de dire « donc Achille ne rattrape jamais la tortue », car l’analyse moderne démontre qu’une série infinie de nombres strictement positifs peut converger vers un résultat fini. C’est la somme d’une série géométrique.

Par résolution d’équation, on peut éviter les additions infinies en cherchant non pas à faire rattraper la tortue là où elle se trouve, mais en cherchant à quel moment Achille et la tortue seront au même point.